参数精度#

在实际问题的求解中，量子硬件平台对参数精度存在较为严格的限制，如专用量子计算机SPQC仅支持8位整数范围[−128,127][-128,127]，使得建模时必须精密控制系数动态范围以确保计算可行性。值得注意的是，虽然Ising模型更贴近物理实现，但QUBO模型因其直观的二进制变量表达和约束处理机制，仍是组合优化问题建模的首选形式。这也解释了为何在8位精度限制下，我们仍需要通过QUBO建模后再进行模型转换。

当用户构建QUBO模型时，需特别关注以下两个核心环节：首先，模型转换过程必须保证Ising矩阵的系数严格落在硬件支持的动态范围内；其次，针对不同问题特性，需要灵活选择精度适配策略（如动态范围压缩或变量拆分）。本节介绍了四种使用Kaiwu SDK降精度的参考方案。

通过本节内容学习，在面对8位精度的硬件限制，各位开发者可充分利用QUBO模型的建模优势，最终转化为符合量子计算硬件要求的Ising模型。

1. 背景介绍#

如上图所示，因为QUBO模型只是数学模型，Ising模型是贴近物理实现的模型，所以无论使用的是QUBO还是Ising模型，最终进行SPQC真机求解的都是Ising模型。因此，前文提到的8位整数范围的精度限制，是对Ising模型的精度限制，而非对QUBO模型的限制。为了更好地检查如何限制QUBO矩阵，使得建模符合精度限制，下文将讲解QUBO转化为Ising模型的方法，并介绍这样限制的原因。

1.1 为什么要降精度为8bit？#

在计算机科学和数字硬件设计中，八位整数（8-bit Integer）是指用8个二进制位（bit）存储的整数。我们所讲的8位整数的取值范围为有符号整数情况下的，最小负数为-128，最大正数为127。

在使用SPQC进行计算时，采用8位整数范围（即[−128,127][-128,127]）作为参数精度的标准并非随意选择，而是由量子硬件的物理特性与计算需求共同决定的，也即目前而言，8位精度在计算精度与硬件可实现性之间达到了最佳平衡。随着技术的发展，未来可能通过误差校正等手段突破这一限制，但在当前阶段，理解并适应8位精度的特性才是充分发挥量子优势的关键。

1.2 如何QUBO转Ising？#

这里将回顾下QUBO如何转化为Ising模型，以便于理解动态范围检查如何限制QUBO矩阵。

QUBO模型的哈密顿量表示为：

HQUBO=∑iqiixi+∑i≠jqijxixj\mathcal{H}_{QUBO}= \sum_{i}{q_{ii}x_{i}} +\sum_{i\neq j}{q_{ij}x_{i}x_{j}}

其中xi∈{0,1}x_i \in \{0,1\}为二进制变量，qiiq_{ii}和qijq_{ij}分别为线性项和二次项的系数，由于二进制变量满足xi2=xix_i^2=x_i，QUBO模型的对角线元素可直接表示线性项。

Ising模型的变量定义为：自旋变量si∈{−1,+1}s_i \in \{−1,+1\}，其哈密顿量为：

HIsing=∑ihisi+∑i<jJijsisj\mathcal{H}_{Ising}= \sum_{i}{h_{i}s_{i}} +\sum_{i< j}{J_{ij}s_{i}s_{j}}

其中hih_i为局部磁场，JijJ_{ij}为自旋间耦合强度。

为了将QUBO模型映射到Ising模型，需进行变量替换。令si=2xi−1∈{1,−1}s_{i} = 2x_{i}-1 \in \{1,-1\}，将xix_i代入QUBO哈密顿量后展开：

HIsing=∑iqii⋅si+12+∑i≠jqij⋅(si+1)(sj+1)4=∑i≠jqij4sisj+∑i(qii2+∑k≠i(qik+qki)4)si+(∑iqii2+∑i≠jqij4) \begin{aligned} \mathcal{H}_{Ising} =& \sum_{i}{q_{ii}\cdot \frac{s_{i}+1}{2}} +\sum_{i\neq j}{q_{ij}\cdot \frac{(s_{i}+1)(s_{j}+1)}{4}} \\ = &\sum_{i\neq j} \frac{q_{ij}}{4}s_{i}s_{j} +\sum_{i} \Big(\frac{q_{ii}}{2}+\frac{\sum_{k\neq i}{(q_{ik}+q_{ki})}}{4}\Big) s_{i} + \Big(\frac{\sum_{i} q_{ii}}{2} +\frac{\sum_{i\neq j}q_{ij}}{4}\Big) \end{aligned}

由此可得Ising模型的系数：

Jij=qij4hi=qii2+14∑k≠i(qik+qki) \begin{aligned} J_{ij}&=\frac{q_{ij}}{4}\\ h_i&=\frac{q_{ii}}{2}+\frac{1}{4}\sum_{k\neq i}{(q_{ik}+q_{ki})} \end{aligned}

其中hih_i为线性项，因为SPQC真机无法直接解决包含线性项的伊辛问题，需要增加一个辅助变量转化为二次项，故将QUBO矩阵转化为Ising矩阵时，Ising矩阵通常会多一个比特（即变量），辅助变量取1和-1时可以分别对应到添加辅助变量前的两组解，故添加辅助变量后与原问题等价，此为正常现象，用户无需过多担心。

1.3 常见问题说明#

（1）Ising矩阵强调的8位整数范围和矩阵内的具体数字没有直接关系，若矩阵元素整体缩放同比例后仍处于8位整数范围内，同样符合计算要求。例：（1280，1000）等价于（128，100）；

（2）为什么Ising矩阵的线性项不能放在对角线元素上？

QUBO变量满足x2=xx^2 = x，可以用矩阵的对角线元素表达线性项，而Ising模型x2=1x^2 = 1，不能这样表示。常数项在优化过程中通常可忽略，但在计算总能量时需额外累加，常数项单独记录，在计算最终哈密顿量时加上即可。

以一个简单的QUBO模型为例：

x⊤(0211)x \begin{aligned} x^\top\left( \begin{array}{ll} 0 & 2\\ 1 & 1 \end{array}\right)x \end{aligned}

经过变换之后的Ising模型为：

s⊤(03/83/83/805/83/85/80)s+3/2 \begin{aligned} s^\top\left( \begin{array}{lll} 0 & 3/8 & 3/8\\ 3/8 & 0 & 5/8 \\ 3/8 & 5/8 & 0 \end{array} \right) s+3/2 \end{aligned}

2. Kaiwu SDK降低精度的方法#

Kaiwu SDK提供了四种降低参数精度的方法，分别是直接截断（adjust_ising_matrix_precision）、 动态范围压缩（perform_precision_adaption_mutate）、变量拆分（perform_precision_adaption_split）以及整合了适应性截断和变量拆分的降低精度装饰类（PrecisionReducer）：

  • 直接截断方法最简单方便，但是若存在极端值会导致严重的精度损失；

  • 动态范围压缩方法在修改矩阵的同时能够保持矩阵的解不变，但能够改变精度的程度取决于矩阵本身的可下降空间；

  • 变量拆分方法能够将矩阵修改到任意精度，但是新矩阵的比特数随着精度变化量增长较快。

2.1 方法一：直接截断（adjust_ising_matrix_precision）#

直接取整法是最简单的精度调整方案，其实现原理是将矩阵元素全部线性缩放到目标位宽（如8位整型范围-128~127），再执行四舍五入取整。该方法可以通过adjust_ising_matrix_precision或adjust_qubo_matrix_precision函数实现。

如下表所示，adjust_ising_matrix_precision是用于调整Ising矩阵精度的直接取整法函数，而adjust_qubo_matrix_precision能够将QUBO矩阵转换为Ising矩阵，在用直接取整法调整完生成的Ising矩阵的精度后，再将矩阵变为QUBO矩阵的形式输出。

项目

adjust_ising_matrix_precision

adjust_qubo_matrix_precision

输入

Ising 矩阵

QUBO 矩阵

方法

直接取整法

直接取整法

流程

Ising 矩阵 → 调节后的 Ising 矩阵

QUBO 矩阵 → 对应的 Ising 矩阵 → 调节后的 Ising 矩阵 → 调节后对应的 QUBO 矩阵

输出

调节后的 Ising 矩阵

调节后的 QUBO 矩阵

示例代码如下：

ori_ising_mat1 = np.array(
    [
        [0, 0.22, 0.198],
        [0.22, 0, 0.197],
        [0.198, 0.197, 0],
    ]
)
ising_mat1 = kw.preprocess.adjust_ising_matrix_precision(ori_ising_mat1)
print("调整后矩阵:\n", ising_mat1)

调整前后矩阵的对比如下：

[00.220.1980.2200.1970.1980.1970]→[012711412701141141140] \begin{bmatrix} 0 & 0.22 & 0.198 \\ 0.22 & 0 & 0.197 \\ 0.198 & 0.197 & 0 \end{bmatrix} \quad \rightarrow \quad \begin{bmatrix} 0 & 127 & 114 \\ 127 & 0 & 114 \\ 114 & 114 & 0 \end{bmatrix}

必须注意，该方法对元素间差异较小的矩阵效果较好，但当矩阵存在极端值时，直接取整会导致严重精度损失。例如对于存在极端值的矩阵：

ori_ising_mat2 = np.array(
    [
        [0, 0.22, 0.198],
        [0.22, 0, 50],
        [0.198, 50, 0],
    ]
)
ising_mat2 = kw.preprocess.adjust_ising_matrix_precision(ori_ising_mat2)
print("极端值调整后矩阵:\n", ising_mat2)

输出结果为：

[00.220.1980.220500.198500]→[0111012711270] \begin{bmatrix} 0 & 0.22 & 0.198 \\ 0.22 & 0 & 50 \\ 0.198 & 50& 0 \end{bmatrix} \quad \rightarrow \quad \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 127 \\ 1 & 127 & 0 \end{bmatrix}

此时，微小项0.22和0.198都被压缩为1，而极端值50被放大到127，但是两者的相对比值由于精度上限(127)以及整数的限制(1)而被扭曲，导致求解结果偏离真实最优解。因此，直接取整法仅推荐在动态范围较小的场景下使用。对于复杂问题，应优先选择下面将要讲到的动态范围压缩或变量拆分方案。

2.2 方法二：动态范围压缩（perform_precision_adaption_mutate）#

动态范围（Dynamic Range, DR） 是衡量矩阵系数分布的关键指标，适用于QUBO矩阵和Ising矩阵，通过减小动态范围，可以降低原矩阵所需要的参数精度。

动态范围定义为：

DR(X):=log2(D^(X)Dˇ(X))DR(X):=log_2\left(\frac{\hat{D}(X)}{\check{D}(X)}\right)

其中，XX 为系数矩阵，D^(X)=max⁡i,j∣Xij∣\hat{D}(X) = \max_{i,j}|X_{ij}|为 XX 元素的最大距离，Dˇ(X)=min⁡i,j∣Xij∣\check{D}(X) = \min_{i,j}|X_{ij}| 为 XX 元素的最小距离。

通过矩阵元素重缩放与四舍五入操作，将原始矩阵QQ映射到硬件支持的8位整数范围（-128~127），同时保持最优解不变。

具体步骤为：首先，设缩放因子为α\alpha，构造变换Q′=⌊αQ⌉Q' = \lfloor \alpha Q \rceil，其中⌊⋅⌉\lfloor \cdot \rceil表示四舍五入取整。

缩放因子需满足：

α≤127D^(Q) \alpha \leq \frac{127}{\hat{D}(Q)}

此时变换后的矩阵满足Qij′∈[−128,127]Q'_{ij} \in [-128,127]。

理论证明，当α\alpha满足：

α>Δ2Dˇ(Q) \alpha > \frac{\Delta}{2\check{D}(Q)}

（其中Δ\Delta为相邻可区分参数的最小间隔），可保证Q⊆Q′Q \subseteq Q'，即原问题最优解包含于新问题解集中。

动态范围的定义可以适用于QUBO矩阵和Ising矩阵，通过减少动态范围，可以降低原矩阵所需要的参数精度。由于最终在Ising矩阵上进行计算，所以Kaiwu SDK降低动态范围的操作直接作用于Ising矩阵。

Kaiwu SDK主要使用函数perform_precision_adaption_mutate进行动态范围压缩。以下矩阵为例：

Q0=[0−200401.1001224011200000−1024000002.0500000] Q_0 = \begin{bmatrix} 0 & -20 & 0 & 40 & 1.1 \\ 0 & 0 & 12240 & 1 & 120 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -10240 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2.05 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

经过perform_precision_adaption_mutate处理后，动态范围从DR(Q0)=13.2DR(Q_0)=13.2降至DR(Q′)=7.1DR(Q')=7.1，同时保持最优解不变。

详细代码如下：

np.random.seed(0)
mat0 = np.array(
    [
        [0, -20, 0, 40, 1.1],
        [0, 0, 12240, 1, 120],
        [0, 0, 0, 0, -10240],
        [0, 0, 0, 0, 2.05],
        [0, 0, 0, 0, 0],
    ]
)
mutated_mat = kw.preprocess.perform_precision_adaption_mutate(mat0)
print("调整后矩阵:\n", mutated_mat)

运行该程序，得到调整后的矩阵为：

Q′=[0−2.0502.050−2.0504.10004.100−2.052.050002.0500−2.052.050] Q' = \begin{bmatrix} 0 & -2.05 & 0 & 2.05 & 0 \\ -2.05 & 0 & 4.1 & 0 & 0 \\ 0 & 4.1 & 0 & 0 & -2.05 \\ 2.05 & 0 & 0 & 0 & 2.05 \\ 0 & 0 & -2.05 & 2.05 & 0 \end{bmatrix}

2.3 方法三：变量拆分（perform_precision_adaption_split）#

由于当前量子计算机对Ising系数的存储方式为定点数，且只有8位精度，对于最大最小值的比值超过282^{8}的多项式，需要将系数大的项分拆。实现方式为将原式中的比特替换成值相等的多个等价比特，相等条件由约束项实现，从而使得每一项的系数都能够缩小。当矩阵参数动态范围超过硬件支持的282^{8}时，需采用变量拆分技术。

设目标函数为：

f(x)=∑iqixi+∑i<jqijxixj f(\mathbf{x})=\sum_{i}q_i x_i+\sum_{i<j}q_{ij}x_i x_j

对于满足∣qij∣>216|q_{ij}| > 2^{16}的项，引入辅助变量x′\mathbf{x'}将其分解，构造等价问题：

min⁡x,x′f(x,x′)+M∑k(xk−xk′)2其中f(x,x′)=∑iqixi+∑i<j⌊qij2⌋xixj+∑i<j⌈qij2⌉xi′xj′ \begin{aligned} \min_{\mathbf{x},\mathbf{x'}} & f(\mathbf{x},\mathbf{x'}) + M\sum_{k}(x_k - x'_k)^2 \\ \text{其中} & f(\mathbf{x},\mathbf{x'}) = \sum_{i}q_i x_i + \sum_{i<j}\left\lfloor\frac{q_{ij}}{2}\right\rfloor x_i x_j + \sum_{i<j}\left\lceil\frac{q_{ij}}{2}\right\rceil x'_i x'_j \end{aligned}

拆分的方式将f(x)f(\mathbf{x})转化为：

f(x,x′)+M∑i(xi−xi1)2+M∑i,j(xij−xi(j+1))=f(x,x′)+M∑i(xi+xi1−2xixi1)+M∑i,j(xij+xi(j+1)−2xijxi(j+1)) \begin{aligned} &f(\mathbf{x}, \mathbf{x'})+M\sum_i (x_i - x_{i1})^2+M\sum_{i,j} (x_{ij}-x_{i(j+1)})= \\ &f(\mathbf{x}, \mathbf{x'})+M\sum_i (x_i + x_{i1} - 2x_ix_{i1})+M\sum_{i,j} (x_{ij} + x_{i(j+1)} - 2x_{ij}x_{i(j+1)}) \end{aligned}

例如，对于x1+2x2+200x3x_1+2x_2+200x_3，要求多项式系数最大最小值的比值不能超过150，那么将多项式修改为：

x1+2x2+100x3+100x31+50(x3−x31)2=x1+2x2+100x3+100x31+50(x3+x31−2x3x31)x_1+2x_2+100x_3+100x_{31}+50(x_3-x_{31})^2=x_1+2x_2+100x_3+100x_{31}+50(x_3+x_{31}-2x_3x_{31})
mat = np.array(
    [
        [0, -15, 0, 40],
        [-15, 0, 0, 1],
        [0, 0, 0, 0],
        [40, 1, 0, 0],
    ]
)
splitted_ret, last_idx = kw.preprocess.perform_precision_adaption_split(mat, 4)
print(splitted_ret)

min_increment计算得到默认值为1，精度设置为4个比特，范围在[−7,7][-7,7]，也即绝对值应该小于7。程序输出转换后的矩阵如下：

如图所示，红色的箭头指示出拆分前后的对应关系，蓝色框中的数字则是用于限制新建的变量的值保持一致的惩罚项，通过这样拆分变量，可以在保持原矩阵的解的情况下，将参数精度降低。降低精度的过程通过param_bit，min_increment，penalty，round_to_increment等参数来调节。

其中，min_increment（最小步长）参数用于降低元素精度，同时保持原始数据的相对差异。该参数使矩阵的值满足min_increment的整数倍（如min_increment=0.5时，元素只能为 0, 0.5, 1.0 等），其默认值为自动计算矩阵元素间的最小正差值（如矩阵中有 0.1 和 0.3，则默认min_increment=0.2）。

round_to_increment（舍入策略）参数为了使得调整元素时，确保所有元素之和严格等于原值。例如，不启用reduce_error时，15将被拆分成7.5+7.5，若分别近似取整会变成8+8，总和发生偏离（15 → 16）。启用reduce_error=True后，通过动态调整部分元素的舍入方向（ 7.5 → 7 或 8），使总和严格等于原值（如 15 → 7+8=15）。

演示代码如下：

mat = np.array(
    [
        [0, -15, 0, 40],
        [-15, 0, 0, 1],
        [0, 0, 0, 0],
        [40, 1, 0, 0],
    ]
)
splitted_ret2, last_idx2 = kw.preprocess.perform_precision_adaption_split(
    mat, 4, min_increment=3, round_to_increment=True
)
print(splitted_ret2)

结果为：

[021.−6.0.3.12.210.−9.0.12.12.−6−9.0.0.0.0.00.0.0.0.0.312.0.0.0.21.1212.0.0.21.0.] \begin{bmatrix}0 & 21. & -6. & 0. & 3. & 12. \\ 21 & 0. & -9. & 0. & 12. & 12. \\ -6 & -9. & 0. & 0. & 0. & 0. \\ 0 & 0. & 0. & 0. & 0. & 0. \\ 3 & 12. & 0. & 0. & 0. & 21. \\ 12 & 12. & 0. & 0. & 21. & 0. \\ \end{bmatrix}

已获得拆分后矩阵的解时，可以通过restore_split_solution函数将其恢复成原矩阵的解。

original_solution = np.array([-1, 1, -1, -1])
split_solution = kw.preprocess.construct_split_solution(original_solution, last_idx)
org_sol = kw.preprocess.restore_split_solution(split_solution, last_idx)
print(org_sol)

结果为：

[−1.1.−1.−1.] \begin{bmatrix} -1. & 1. & -1.& -1.\\ \end{bmatrix}

2.4 方法四：降低精度装饰类（PrecisionReducer）#

降低精度装饰类（PrecisionReducer）是Kaiwu SDK中一种智能化的精度适配方案，其核心思想是：通过截断与变量拆分的组合策略，将原始矩阵参数适配到硬件支持的精度范围内。该方案以装饰器模式实现，用户可将任意优化器作为基础组件传入，PrecisionReducer会在求解过程中自动完成矩阵精度调整，同时保证解的可行性。即当用户在提交量子计算机求解时，可以在CIMOptimizer之外再套一个PrecisionReducer，然后把PrecisionReducer作为Optimizer传给Solver。

装饰类的工作原理分为两个阶段：截断与变量拆分决策。当用户设定目标精度（precision参数）后，装饰类首先计算矩阵的动态范围，若动态范围超过硬件限制（由target_bits参数控制），则优先尝试通过一定程度上的适应性截断降低动态范围；若截断后仍无法满足精度要求，则自动触发变量拆分操作，将大系数项分解为多个等效变量，并通过惩罚项约束其等价性。详细示例代码如下：

kw.common.set_log_level("INFO")
matrix = -np.array(
    [
        [0.0, 1.23, 0.0, 1.0, 1.0],
        [1.23, 0.0, 0.0, 1.0, 1.0],
        [0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 1.0],
        [1.0, 1.0, 1.0, 0.0, 1.0],
        [1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 0.0],
    ]
)
base_optimizer = kw.classical.SimulatedAnnealingOptimizer(
    initial_temperature=100,
    alpha=0.99,
    cutoff_temperature=0.001,
    iterations_per_t=10,
    size_limit=5,
)
precision_optimizer = kw.preprocess.PrecisionReducer(base_optimizer, precision=8)
solution = precision_optimizer.solve(matrix)

装饰类的核心参数only_feasible_solution控制解的可行性验证。当设为True时，装饰类会过滤所有违反拆分约束的解（通过惩罚项判断），若所有解均不可行则抛出异常；当设为False时，允许返回非可行解（可能存在拆分变量不一致的情况）。

更多使用细节，可直接参考kaiwu.preprocess package文档：https://kaiwu-sdk-docs.qboson.com/zh/v1.2.0/source/modules/kaiwu.preprocess.html

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